La description quantique-mécanique de la réalité physique peut-elle être considérée comme complète ?

1.

Toute considération sérieuse d’une théorie physique doit prendre en compte la distinction entre la réalité objective, indépendante de toute théorie, et les concepts physiques avec lesquels la théorie opère. Ces concepts sont destinés à correspondre à la réalité objective, et c’est au moyen d’eux que nous nous représentons cette réalité.

En cherchant à juger du succès d’une théorie physique, nous pouvons nous poser deux questions : (1) "La théorie est-elle correcte ?" et (2) "La description donnée par la théorie est-elle complète ?" Ce n’est que lorsque des réponses positives peuvent être apportées à ces deux questions que les concepts de la théorie peuvent être considérés comme satisfaisants. La validité de la théorie est jugée par le degré d’accord entre les conclusions de la théorie et l’expérience humaine. Cette expérience, qui seule nous permet de faire des inférences sur la réalité, prend en physique la forme d’expériences et de mesures. C’est la seconde question que nous souhaitons examiner ici, appliquée à la mécanique quantique.

Quelle que soit la signification attribuée au terme complète, l’exigence suivante pour une théorie complète semble nécessaire : chaque élément de la réalité physique doit avoir un correspondant dans la théorie physique. Nous appellerons cela la condition de complétude. La seconde question trouve alors facilement sa réponse dès lors que nous sommes capables de décider quels sont les éléments de la réalité physique.

Les éléments de la réalité physique ne peuvent être déterminés par des considérations philosophiques a priori, mais doivent être établis à partir des résultats d’expériences et de mesures. Une définition exhaustive de la réalité est toutefois inutile pour notre propos. Nous nous contenterons du critère suivant, que nous considérons comme raisonnable. Si, sans perturber en aucune manière un système, nous pouvons prédire avec certitude (c’est-à-dire avec une probabilité égale à l’unité) la valeur d’une grandeur physique, alors il existe un élément de réalité physique correspondant à cette grandeur. Il nous semble que ce critère, bien qu’il soit loin d’épuiser toutes les manières possibles de reconnaître une réalité physique, nous en fournit au moins une lorsqu’il est applicable. Considéré non comme une condition nécessaire, mais simplement suffisante de réalité, ce critère est compatible aussi bien avec les idées classiques qu’avec les idées quantiques de la réalité.

Pour illustrer les idées en jeu, considérons la description quantique du comportement d’une particule possédant un seul degré de liberté. Le concept fondamental de la théorie est celui d’état, supposé être complètement caractérisé par la fonction d’onde $\psi$, fonction des variables choisies pour décrire le comportement de la particule. À chaque grandeur physiquement observable $A$ correspond un opérateur, que nous désignerons par la même lettre.

Si $\psi$ est une fonction propre de l’opérateur $A$, c’est-à-dire si

\[ \psi' \equiv A\psi = a\psi, \]

où $a$ est un nombre, alors la grandeur physique $A$ possède avec certitude la valeur $a$ chaque fois que la particule est dans l’état donné par $\psi$. Conformément à notre critère de réalité, pour une particule dans l’état donné par $\psi$ vérifiant l’équation (1), il existe un élément de réalité physique correspondant à la grandeur physique $A$. Soit par exemple

\[ \psi = e^{(2\pi i/h)p_0 x}, \]

où $h$ est la constante de Planck, $p_0$ un nombre constant, et $x$ la variable indépendante. Puisque l’opérateur correspondant à l’impulsion de la particule est

\[ p = (h/2\pi i)\delta/\delta x, \]

nous obtenons

\[ \psi' = p\psi = (h/2\pi i)\delta\psi/\delta x = p_0\psi. \]

Ainsi, dans l’état donné par l’équation (2), l’impulsion possède certainement la valeur $p_0$. Il est donc significatif d’affirmer que l’impulsion de la particule dans cet état est réelle.

En revanche, si l’équation (1) n’est pas satisfaite, nous ne pouvons plus parler de la grandeur physique $A$ comme ayant une valeur particulière. C’est le cas, par exemple, de la coordonnée de la particule. L’opérateur correspondant, noté $q$, est l’opérateur de multiplication par la variable indépendante. Ainsi,

\[ q\psi = x\psi \neq a\psi. \]

Conformément à la mécanique quantique, nous pouvons seulement dire que la probabilité relative qu’une mesure de la coordonnée donne un résultat compris entre $a$ et $b$ est

\[ P(a,b) = \int_a^b \bar{\psi}\psi \, dx = \int_a^b dx = b-a. \]

Puisque cette probabilité est indépendante de $a$ et ne dépend que de la différence $b-a$, nous voyons que toutes les valeurs de la coordonnée sont également probables.

Une valeur définie de la coordonnée, pour une particule dans l’état donné par l’équation (2), n’est donc pas prédictible, mais ne peut être obtenue que par une mesure directe. Une telle mesure perturbe cependant la particule et modifie ainsi son état. Après détermination de la coordonnée, la particule ne sera plus dans l’état donné par l’équation (2). La conclusion habituelle en mécanique quantique est donc que lorsque l’impulsion d’une particule est connue, sa coordonnée n’a pas de réalité physique.

Plus généralement, on montre en mécanique quantique que si les opérateurs correspondant à deux grandeurs physiques, disons $A$ et $B$, ne commutent pas, c’est-à-dire si $AB \neq BA$, alors la connaissance précise de l’une exclut celle de l’autre. De plus, toute tentative de déterminer expérimentalement la seconde modifie l’état du système de manière à détruire la connaissance de la première.

Il en résulte que soit (1) la description quantique de la réalité donnée par la fonction d’onde n’est pas complète, soit (2) lorsque les opérateurs correspondant à deux grandeurs physiques ne commutent pas, ces deux grandeurs ne peuvent avoir une réalité simultanée. Car si elles avaient toutes deux une réalité simultanée — et donc des valeurs définies — ces valeurs devraient figurer dans la description complète, conformément à la condition de complétude. Si la fonction d’onde fournissait une telle description complète de la réalité, elle contiendrait alors ces valeurs ; elles seraient donc prédictibles. Comme ce n’est pas le cas, nous sommes ramenés aux alternatives énoncées.

En mécanique quantique, on suppose généralement que la fonction d’onde contient effectivement une description complète de la réalité physique du système dans l’état auquel elle correspond. À première vue, cette hypothèse paraît tout à fait raisonnable, car les informations obtenues à partir d’une fonction d’onde semblent correspondre exactement à ce qui peut être mesuré sans altérer l’état du système. Nous allons montrer cependant que cette hypothèse, combinée au critère de réalité donné ci-dessus, conduit à une contradiction.

2.

À cette fin, supposons que nous ayons deux systèmes, I et II, que nous laissons interagir depuis l’instant $t=0$ jusqu’à l’instant $t=T$, après quoi nous supposons qu’il n’existe plus aucune interaction entre les deux parties. Supposons en outre que les états des deux systèmes avant $t=0$ soient connus. Nous pouvons alors calculer, à l’aide de l’équation de Schrödinger, l’état du système combiné I+II à tout instant ultérieur, et en particulier pour tout $t>T$. Désignons la fonction d’onde correspondante par $\Psi$.

Nous ne pouvons cependant pas calculer l’état dans lequel chacun des deux systèmes se retrouve après l’interaction. Cela, selon la mécanique quantique, ne peut être fait qu’à l’aide de mesures supplémentaires, par un processus connu sous le nom de réduction du paquet d’ondes. Considérons les éléments essentiels de ce processus.

Soient $a_1, a_2, a_3, \cdots$ les valeurs propres d’une grandeur physique $A$ relative au système I, et $u_1(x_1), u_2(x_1), u_3(x_1), \cdots$ les fonctions propres correspondantes, où $x_1$ représente les variables utilisées pour décrire le premier système. Alors $\Psi$, considérée comme fonction de $x_1$, peut être écrite sous la forme

\[ \Psi(x_1, x_2) = \sum_{n=1}^{\infty} \psi_n(x_2)\, u_n(x_1) \]

où $x_2$ représente les variables utilisées pour décrire le second système.

Supposons maintenant que la grandeur $A$ soit mesurée et qu’on trouve la valeur $a_k$. On conclut alors qu’après la mesure, le premier système est laissé dans l’état donné par la fonction d’onde $u_k(x_1)$, et que le second système est laissé dans l’état donné par la fonction d’onde $\psi_k(x_2)$. C’est le processus de réduction du paquet d’ondes : le paquet d’ondes donné par la série infinie (7) est réduit à un seul terme $\psi_k(x_2)u_k(x_1)$.

L’ensemble des fonctions $u_k(x_1)$ est déterminé par le choix de la grandeur physique $A$. Si, au lieu de cela, nous avions choisi une autre grandeur, disons $B$, possédant les valeurs propres $b_1, b_2, b_3, \cdots$ et les fonctions propres $v_1(x_1), v_2(x_1), v_3(x_1), \cdots$, nous aurions obtenu, au lieu de l’équation (7), le développement

\[ \Psi(x_1, x_2) = \sum_{n=1}^{\infty} \varphi_n(x_2)\, v_n(x_1) \]

où les $\varphi_n$ sont les nouveaux coefficients.

Si maintenant la grandeur $B$ est mesurée et trouvée égale à $b_r$, on conclut qu’après la mesure le premier système est laissé dans l’état donné par $v_r(x_1)$ et le second dans l’état donné par $\varphi_r(x_2)$.

Nous voyons donc qu’à la suite de deux mesures différentes effectuées sur le premier système, le second système peut être laissé dans des états décrits par deux fonctions d’onde différentes. D’un autre côté, puisque les deux systèmes n’interagissent plus au moment de la mesure, aucun changement réel ne peut se produire dans le second système à cause de ce qui est fait au premier système. Ceci n’est bien sûr qu’une reformulation de ce que signifie l’absence d’interaction entre les deux systèmes.

Ainsi, il est possible d’attribuer deux fonctions d’onde différentes (dans notre exemple $\psi_k$ et $\varphi_r$) à une même réalité (le second système après l’interaction avec le premier).

Il peut arriver maintenant que les deux fonctions d’onde $\psi_k$ et $\varphi_r$ soient des fonctions propres de deux opérateurs non commutatifs correspondant respectivement à des grandeurs physiques $P$ et $Q$. Que cela puisse effectivement être le cas se voit le mieux sur un exemple.

Supposons que les deux systèmes soient deux particules et que

\[ \Psi(x_1, x_2) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{(2\pi i / h)\,(x_1 - x_2 + x_0)\,p}\, dp \]

où $x_0$ est une constante.

Soit $A$ l’impulsion de la première particule ; alors, comme nous l’avons vu dans l’équation (4), ses fonctions propres sont

\[ u_p(x_1) = e^{(2\pi i / h)\,p x_1} \]

correspondant à la valeur propre $p$.

Comme nous avons ici le cas d’un spectre continu, l’équation (7) s’écrit maintenant

\[ \Psi(x_1, x_2) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_p(x_2)\, u_p(x_1)\, dp \]

où

\[ \psi_p(x_2) = e^{-(2\pi i / h)\,(x_2 - x_0)\,p} \]

Cette fonction $\psi_p$ est cependant la fonction propre de l’opérateur

\[ P = (h/2\pi i)\partial/\partial x_2, \]

correspondant à la valeur propre $-p$ de l’impulsion de la seconde particule.

D’autre part, si $B$ est la coordonnée de la première particule, ses fonctions propres sont

\[ v_x(x_1) = \delta(x_1 - x) \]

correspondant à la valeur propre $x$, où $\delta(x_1 - x)$ est la célèbre fonction delta de Dirac.

L’équation (8) devient alors

\[ \Psi(x_1, x_2) = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_x(x_2)\, v_x(x_1)\, dx \]

où

\[ \varphi_x(x_2) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{(2\pi i / h)\,(x - x_2 + x_0)\,p}\, dp = h\,\delta(x - x_2 + x_0) \]

Cette fonction $\varphi_x$ est cependant la fonction propre de l’opérateur

\[ Q = x_2 \]

correspondant à la valeur propre $x+x_0$ de la coordonnée de la seconde particule. Puisque

\[ PQ - QP = h/2\pi i, \]

nous avons montré qu’il est en général possible pour $\psi_k$ et $\varphi_r$ d’être des fonctions propres de deux opérateurs non commutatifs correspondant à des grandeurs physiques.

Revenons maintenant au cas général envisagé dans les équations (7) et (8). Supposons que $\psi_k$ et $\varphi_r$ soient effectivement des fonctions propres de deux opérateurs non commutatifs $P$ et $Q$, correspondant respectivement aux valeurs propres $p_k$ et $q_r$.

Ainsi, en mesurant soit $A$ soit $B$, nous sommes en mesure de prédire avec certitude, et sans perturber en aucune manière le second système, soit la valeur de la grandeur $P$ (c’est-à-dire $p_k$), soit celle de la grandeur $Q$ (c’est-à-dire $q_r$).

Conformément à notre critère de réalité, dans le premier cas nous devons considérer la grandeur $P$ comme un élément de réalité, et dans le second cas la grandeur $Q$ comme un élément de réalité. Mais, comme nous l’avons vu, les deux fonctions d’onde $\psi_k$ et $\varphi_r$ appartiennent à une même réalité.

Nous avons précédemment démontré que soit (1) la description quantique de la réalité donnée par la fonction d’onde n’est pas complète, soit (2) lorsque les opérateurs correspondant à deux grandeurs physiques ne commutent pas, ces deux grandeurs ne peuvent avoir une réalité simultanée.

En partant de l’hypothèse que la fonction d’onde donne une description complète de la réalité physique, nous sommes arrivés à la conclusion que deux grandeurs physiques associées à des opérateurs non commutatifs peuvent avoir une réalité simultanée. Ainsi, la négation de (1) entraîne la négation de l’unique autre alternative (2). Nous sommes donc forcés de conclure que la description quantique de la réalité physique donnée par les fonctions d’onde n’est pas complète.

On pourrait objecter à cette conclusion que notre critère de réalité n’est pas suffisamment restrictif. En effet, on n’arriverait pas à notre conclusion si l’on exigeait que deux ou plusieurs grandeurs physiques ne puissent être considérées comme des éléments simultanés de réalité que lorsqu’elles peuvent être simultanément mesurées ou prédites.

Selon ce point de vue, puisque l’une ou l’autre, mais non les deux simultanément, des grandeurs $P$ et $Q$ peut être prédite, elles ne sont pas simultanément réelles. Cela rendrait la réalité de $P$ et $Q$ dépendante du processus de mesure effectué sur le premier système, lequel ne perturbe pourtant en aucune manière le second système. Aucune définition raisonnable de la réalité ne devrait permettre cela.

Bien que nous ayons ainsi montré que la fonction d’onde ne fournit pas une description complète de la réalité physique, nous avons laissé ouverte la question de savoir si une telle description existe effectivement. Nous croyons cependant qu’une telle théorie est possible.