Propagation avant

"Et" logique

On définit des paramètres/poids générant la table de vérité du "et" logique :

${\Theta }^{\left(1\right)}=[-30,20,20]$

ce qui donne :

$h_{\Theta }\left(x\right)=g(-30+20x_1+20x_2)$

et donc :

• si $x_1=0$ et $x_2=0$ alors $g(-30+0+0)=g(-30)\approx 0$
• si $x_1=0$ et $x_2=1$ alors $g(-30+0+20)=g(-10)\approx 0$
• si $x_1=1$ et $x_2=0$ alors $g(-30+20+0)=g(-10)\approx 0$
• si $x_1=1$ et $x_2=1$ alors $g(-30+20+20)=g\left(10\right)\approx 1$

(puisque $g$ permet de produire des valeurs tendant vers 0 ou 1 suivant que x est négatif ou positif)

"Ou" logique

On définit des paramètres/poids générant la table de vérité du "ou" logique :

${\Theta }^{\left(1\right)}=[-10,20,20]$

ce qui donne :

$h_{\Theta }\left(x\right)=g(-10+20x_1+20x_2)$

et donc :

• si $x_1=0$ et $x_2=0$ alors $g(-10+0+0)=g(-10)\approx 0$
• si $x_1=0$ et $x_2=1$ alors $g(-10+0+20)=g\left(10\right)\approx 1$
• si $x_1=1$ et $x_2=0$ alors $g(-10+20+0)=g\left(10\right)\approx 1$
• si $x_1=1$ et $x_2=1$ alors $g(-10+20+20)=g\left(30\right)\approx 1$

"Non" logique

On définit des paramètres/poids générant la table de vérité du "non" logique :

${\Theta }^{\left(1\right)}=[10,-20]$

ce qui donne :

$h_{\Theta }\left(x\right)=g(10-20x_1)$

et donc :

• si $x_1=0$ alors $g(10-0)=g\left(10\right)\approx 1$
• si $x_1=1$ alors $g(10-20)=g(-10)\approx 0$

"Nor" logique

On définit des paramètres/poids générant la table de vérité du "ni l'un ni l'autre" ($x_1=x_2=0$) logique :

${\Theta }^{\left(1\right)}=[10,-20,-20]$

ce qui donne :

$h_{\Theta }\left(x\right)=g(10-20x_1-20x_2)$

et donc :

• si $x_1=0$ et $x_2=0$ alors $g(10-0-0)=g\left(10\right)\approx 1$
• si $x_1=0$ et $x_2=1$ alors $g(10-20-0)=g(-10)\approx 0$
• si $x_1=1$ et $x_2=0$ alors $g(10-0-20)=g(-10)\approx 0$
• si $x_1=1$ et $x_2=1$ alors $g(10-20-20)=g(-30)\approx 0$

Not(Xor)

On réutilise les paramètres/poids des exemples précédents :

• 1ʳᵉ couche :
  • Le "et" : ${\Theta }^{\left(1\right)}=[-30,20,20]$
  • Le "nor" : ${\Theta }^{\left(1\right)}=[10,-20,-20]$
  donnent : ${\Theta }^{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{ccc}-30& 20& 20\\ 10& -20& -20\end{array}\right]$
• 2ᵉ couche : Le "ou" : ${\Theta }^{\left(2\right)}=[-10,20,20]$

on calcule alors le résultat des couches :

$a^{\left(2\right)}=g({\Theta }^{\left(1\right)}\cdot x)$

$a^{\left(3\right)}=g({\Theta }^{\left(2\right)}\cdot a^{\left(2\right)})$

ce qui donne :

$h_{\Theta }\left(x\right)=a^{\left(3\right)}$

Bibliothèques

Des exemples de libraries FNN sont :

• Brain.js qui supporte aussi les RNN
• Synaptic.js