Dérivées

Derivative.

Motivation

Déterminer la pente d'une fonction en un point.

Analyse

Recherche de la tangente en un point de la fonction

On considère que la pente est donnée par la tangente (plus précisément le coefficient directeur de cette tangente) à la fonction en un point.

On note $f' (x)$ ou $\frac{d f}{d x}$ ou $\frac{δ f}{δ x}$ la fonction dérivée de $f (x)$ (où $d x$ et $d f$ représentent des accroissements infinitésimaux de $x$ et $f (x + d x)$ ).

Plusieurs variables

Si la fonction implique plusieurs variables/dimensions $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ , la dérivée est la somme des dérivées dans chaque variable/dimension :

$d f = \frac{δ f}{δ x_{1}} + \frac{δ f}{δ x_{2}} + ... + \frac{δ f}{δ x_{n}}$

de sorte que l'on peut calculer chacune de ces dérivées partielles indépendamment (comme si les autres variables étaient constantes).

Conception

Pour trouver la tangente, on la définit comme passant par 2 points de la fonction (espacés d'un petit écart $h$ en abscisse), et l'on cherchera à trouver quelle sera la pente lorsque ces points seront rapprochés au maximum (i .e. lorsque $h$ tend vers 0).

Exemples

Des exemples de fonctions dérivées sont :

Fonction $f =$	Graphique	Fonction dérivée $f' =$	Explication de la dérivée
constante	0,0	0	La pente d'une ordonnée constante (ligne horizontale) est nulle
$x$		1	$y = x$ est une diagonale montant de $h$ quand $x$ augmente de $h$
$a x + b$		$a$	La pente de la droite est $a$ , $b$ est juste la position en $x = 0$ , i.e. l'intersection avec l'axe des ordonnées
$x^{n}$		$n x^{n - 1}$

Des exemples d'utilisation des dérivées sont :

Recherche du minimum d'une fonction => recherche du point où sa dérivée est nulle (puisque cela veut dire qu'elle est descendue puis remontée).
Descente de gradient => pente de descente